Аннотация дисциплины «Дифференциальные уравнения»
Краткое описание
Теория дифференциальных уравнений рассматривает основные методы исследования и решения обыкновенных дифференциальных уравнений: теоремы существования и единственности решений, методы интегрирования простейших уравнений, элементы качественной и аналитической теории, введение в групповой анализ и теорию первого интеграла. Дифференциальные уравнения возникают и используются в различных разделах математики и математического моделирования и в самых разнообразных приложениях.
Основные темы
Основные определения: общее и частное решения, задача Коши. Метод изоклин. Теорема Пикара и теорема Пеано. Метод последовательных приближений. Простейшие уравнения. Особые решения. Метод введения параметра. Уравнения Лагранжа и Клеро. Преобразование Лежандра. Особые точки. Классификация Пуанкаре. Введение в теорию устойчивости. Уравнения старших порядков. Алгоритм поиска первых интегралов. Линейные уравнения. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа). Уравнения с постоянными коэффициентами. Уравнение Эйлера. Элементы аналитической теории ОДУ. Понятие о задаче Штурма-Лиувилля и специальные функции. Интегрирование с помощью обобщенных степенных рядов. Функции Бесселя. Гипергеометрическое уравнение Гаусса. Ортогональные полиномы. Элементы группового анализа. Инварианты группы. Алгоритм решения прямой задачи. Алгоритм решения обратной задачи. Понижение порядка уравнения.